Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，$BD=2\sqrt{2}$，E、F分别为AD、PC中点．
（1）求点F到平面PAB的距离；
（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）取PB中点G，连接FG、AG，由已知可得底面ABCD为正方形，再由E、F分别为AD、PC中点，可得四边形AEFG为平行四边形，得到AG∥FE，由线面平行的判定可得EF∥平面PAB，从而得到点F与点E到平面PAB的距离相等，即距离为EA=1；
（2）由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，再由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PA，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，得到BC⊥AG，进一步得到AG⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，由面面垂直的判定可得平面PCE⊥平面PBC；
（3）作EM⊥PD于M，连接FM，由CD⊥平面PAD，得CD⊥EM，进一步得到EM⊥PC．结合（2）知，EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，可得FM⊥PC，从而得到∠MFE为二面角E-PC-D的平面角或其补角．然后求解三角形可得二面角E-PC-D的大小为30°．

解答 （1）解：如图，取PB中点G，连接FG、AG，
∵底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$，∴底面ABCD为正方形，
∵E、F分别为AD、PC中点，∴FG∥BC，FG=$\frac{1}{2}BC$，AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}BC$，
则FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG为平行四边形，故AG∥FE，
∵AG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∴点F与点E到平面PAB的距离相等，即距离为EA=1；
（2）证明：由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AG，又PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，
∵EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC；
（3）解：作EM⊥PD于M，连接FM，
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥EM，
∴EM⊥平面PCD，则EM⊥PC．
由（2）知，EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，
又EM∩EF=E，∴PC⊥平面EFM，
∴FM⊥PC，
∴∠MFE为二面角E-PC-D的平面角或其补角．
∵PA=AD=2，∴EF=AG=$\sqrt{2}$，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴sin∠MEF=$\frac{EM}{EF}=\frac{1}{2}$，则∠MFE=30°．
即二面角E-PC-D的大小为30°．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．