题目内容
7．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+3，x≤0}\\{\frac{{e}^{x}}{ex}}，x＞0\end{array}\right.$（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（ ）| A． | （-∞，0） | B． | （-e，e） | C． | （-1，1） | D． | （0，+∞） |
分析 由题意可得f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），f（t）=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f（t）=2在[1，+∞）有2个解，
，当x＜0时，根据函数恒过点（0，3），分类讨论，即可求出当k＞0时，f（t）=2时有3个解，问题得以解决．
解答 
解：函数f（x）为“复合5解“，
∴f（f（x））=2，有5个解，
设t=f（x），
∴f（t）=2，
∵当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ex}$=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（1）=1，
∴t≥1，
∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，
当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），
当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，
∴t≥3
∵f（3）=$\frac{{e}^{2}}{3}$＞2，
∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，
当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，
∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，
综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，
故选：D
点评 本题考查了新定义的应用以及函数的解得问题以及导数和函数的最值问题，关键是求出f（t）的定义域，属于难题．
练习册系列答案
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如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，$BD=2\sqrt{2}$，E、F分别为AD、PC中点．
如图所示，已知AB为⊙O的直径，PB、PN都是⊙O的切线，切点分别为B、N，PN交BA的延长线于点M．
2．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+3，x≤0}\\{\frac{{e}^{x-1}}{x}}，x＞0\end{array}\right.$（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，0） | B． | （-e，e） | C． | （-1，1） | D． | （0，+∞） |
12．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：
甲图书馆
乙图书馆
（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；
（2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？
甲图书馆
| 借书等待时间T1（分钟） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 频数 | 1500 | 1000 | 500 | 500 | 1500 |
| 借书等待时间T2（分钟） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 频数 | 1000 | 500 | 2000 | 1250 | 250 |
（2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？