Question

2．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（2）已知条件可以转化为a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{e}$），
令f'（x）＞0得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的单调递增区间是（$\frac{1}{e}$，+∞），
（2）∵g′（x）=3x²+2ax-1，由题意2xlnx≤3x²+2ax+1，
∵x＞0，
∴a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立 ①，
设h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$
令h′（x）=0得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2，
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查了导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．