Question

13．已知函数f（x）=x³-ax²（其中a是实数），且f′（1）=-3．
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用f′（1）=3，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数在区间[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=x³-ax²，则可得f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（1）=-3，
∴3-2a=-3，
∴a=3
又当a=3时，f（x）=x³-3x²，
∴f（1）=-2，
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0．
（2）由于f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），x∈[-1，3]
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
当f′（x）＞0时，即-1≤x＜0，或2＜x≤3，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜2，函数单调递减，
当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=-4，
∵f（-1）=-4，
∴f（x）在区间[-1，3]上的最小值为-4．

点评 本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的最值，属于中档题．