Question

17．已知函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在区间（1，3）上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可求出m的取值范围；
（2）相当于函数φ（x）=x-2lnx与直线y=a有两个不同的交点，构造函数，求导，求出函数的最值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）≥h（x），得m≤$\frac{x}{lnx}$在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{x}{lnx}$，则g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
当x∈（1，e）时，g′（x）＜0；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（1，e）上递减，在（e，+∞）上递增．
故当x=e时，g（x）的最小值为g（e）=e．
所以m≤e．
即m的取值范围是（-∞，e]．
（2）由已知可得k（x）=x-2lnx-a．函数k（x）在（1，3）上恰有两个不同零点，相当于函数φ（x）=x-2lnx与直线y=a有两个不同的交点．
φ′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
当x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
当x∈（2，3）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增．
又φ（1）=1，φ（2）=2-2ln2，φ（3）=3-2ln3，
要使直线y=a与函数φ（x）=x-2lnx有两个交点，则2-2ln2＜a＜3-2ln3．
即实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．