Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx的导函数为h（x），f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为3x-y+4=0，且h′（-

2

3

）=0，直线y=x是函数g（x）=kxe^x的图象的一条切线．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及k的值；
（Ⅱ）若2f（x）≤g（x）-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，以及切线方程，建立方程关系，即可求出a，b，c的取值，
（Ⅱ）将不等式2f（x）≤g（x）-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，进行参数分离，利用导数求函数最值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴h（x）=f′（x）=3ax²+2bx+c，h′（x）=6ax+2b，
∵h′（-

2

3

）=0，∴6a×（-

2

3

）+2b=0，即b=2a，①
∵f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为3x-y+4=0，
∴当x=-2时，f（-2）=-2，且切线斜率f′（-2）=3，
则f（-2）=-8a+4b-2c=-2，②，
f′（-2）=12a-4b+c=3，③，
联立解得a=

1

2

，b=1，c=1，即 f(x)=

1

2

x3+x2+x，
∵直线y=x是函数g（x）=kxe^x的图象的一条切线．
∴函数在原点处的切线斜率为1，
∵g′（x）=k（e^x+xe^x），∴g′（0）=k=1．
（Ⅱ）若2f（x）≤g（x）-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
则等价为x³+2x²+2x≤xe^x-m+4x+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤-x³-2x²+2x+xe^x+1=x（e^x-x²-2x+2）+1恒成立，
则只需要求出x（e^x-x²-2x+2）+1在[0，+∞）上的最小值即可，
设m（x）=x（e^x-x²-2x+2），
则m′（x）=e^x-x²-2x+2+x（e^x-2x-2）
∵m′（0）=1+2＞0，m′（1）=2e-5＜0，
∴m′（x）=0，必有一个实根t，且t∈（0，1），m′（t）=0，
当x∈（0，t）时，m′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x∈（t，+∞）时，m′（x）＞0，此时函数单调递增，
故m（x）在x=t时取得极小值同时也是最小值，
m（x）的最小值为m（t）=t（e^t-t²-2t+2），
∵当t＞0时，e^t-t²-2t+2=e^t-（t+1）²+3＞0，
∴m（t）=t（e^t-t²-2t+2）＞0，即m（x）＞0，
则x（e^x-x²-2x+2）+1＞1，
即m≤1．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，求函数的导数，将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决本题的关键．运算量大，综合性较强．