题目内容

17．若正数x，y满足x+y=1，则xy+$\frac{1}{xy}$的取值范围$[\frac{17}{4}，+∞）$．

分析 正数x，y满足x+y=1，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，则xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵正数x，y满足x+y=1，∴1≥2$\sqrt{xy}$，解得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，则xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），
f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴函数f（t）在t∈$（0，\frac{1}{4}]$上单调递减，
∴f（t）≥$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$．
故答案为：$[\frac{17}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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7．对于函数f（x），若任给实数a、b、c，f（a），f（b），f（c）为某一三角形三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}+t}}{{{2^x}+1}}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A．[${\frac{1}{2}$，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）
8．n∈N*，${C}_{n}^{0}$+3${C}_{n}^{1}$+…+（2n+1）$C_n^n$=（n+1）2n．
5．设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]，f（x）=x2+1
（1）f（x）在（1，2）上增，（2，3）上减           
（2）f（2016）=1
（3）f（x）图象关于x=2k+1（k∈Z）对称
（4）当x∈[3，4]时，f（x）=（x-4）2+1
则正确的个数有（　　）个．
A．1B．2C．3D．4
12．阅读程序框图（如图），完成以下问题：
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式y=f（x），并求f[f（$\frac{1}{10}$）]的值；
（Ⅱ）在区间[0，100]上随机取一个数x，求f（x）∈[1，3]的概率．
2．函数f（x）=$\sqrt{2x-3}$+$\frac{1}{{\sqrt{4-x}}}$的定义域为（　　）
A．[${\frac{3}{2}$，4]B．[${\frac{3}{2}$，4）C．[4，+∞）D．（4，+∞）
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ） 求角B的大小；
（Ⅱ） 设$\vec m$=（sinA，cos2A），$\vec n$=（4k，1）（k＞1），且$\vec m$•$\vec n$的最大值是7，求k的值．
6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{3}+a{x}^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，其中a是常数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点x=-2和x=2处的切线互相平行，求a的值；
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7．如图，直二面角A-BD-C，平面ABD⊥平面BCD，若其中给定 AB=AD=2，∠BAD=90°，∠BDC=60°，BC⊥CD．
（Ⅰ）求AC与平面BCD所成的角；
（Ⅱ）求点A到BC的距离．

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