Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ） 求角B的大小；
（Ⅱ） 设$\vec m$=（sinA，cos2A），$\vec n$=（4k，1）（k＞1），且$\vec m$•$\vec n$的最大值是7，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-2（sinA-k）²+2k²+1，结合sinA、k的范围，利用二次函数的性质求得它的最大值，再根据它的最大值是7，求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理，
得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，
即2sinAcosB=sinA．
又在△ABC中，sinA＞0，B∈（0，π），
∴cosB=$\frac{1}{2}$．∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（4k，1）（k＞1），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，
即$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-2（sinA-k）²+2k²+1．
又B=$\frac{π}{3}$，∴A∈（0，$\frac{2π}{3}$）．∴sinA∈（0，1]．
∴当sinA=1时，m•n的最大值为4k-1．
又$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$ 的最大值是7，∴4k-1=7，∴k=2．

点评 本题主要考查正弦定理，两个向量的数量积公式的应用，二次函数的性质，属于中档题．