Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{3}+a{x}^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，其中a是常数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点x=-2和x=2处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）探求关于x的方程27f（x）-a³=0的根的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（-2）=f′（2），求出a的值即可；
（Ⅱ）在x的范围内求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，求出f（x）的极小值，从而求出方程根的个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＜0}\\{{3x}^{2}+2ax，x≥0}\end{array}\right.$，
∴f′（-2）=f′（2），得：-4=4a+12，
解得：a=-4；
（Ⅱ）x＜0时，f′（x）=2x＜0恒成立，
∴函数f（x）在（-∞，0）递减，
x≥0时，f′（x）=3x（x+$\frac{2a}{3}$），
-$\frac{2a}{3}$≤0即a≥0时，f（x）在[0，+∞）递增，
-$\frac{2a}{3}$＞0即a＜0时，f（x）在[0，-$\frac{2a}{3}$）递减，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）递增，
综上，a≥0时，f（x）在（-∞，0）递减，在[0，+∞）递增，
a＜0时，f（x）在（-∞，0），（0，-$\frac{2a}{3}$）递减，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）递增，
（Ⅲ）①若x＜0，则x²-$\frac{1}{27}$a³=0，
a＞0时，x=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$a，a≤0时，方程无解，
②若x≥0，则x³+ax²+1=$\frac{1}{27}$a³，
a＞0时，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）_min=1，
由$\frac{1}{27}$a³≥1即a≥3时，方程恰有1个根，
0≤a＜3时，方程无解，
a＜0时，由（Ⅱ）得：f（x）_极小值=f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1，
若$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1＜$\frac{1}{27}$a³⇒a＜-$\root{3}{9}$，方程恰有2个根，
若$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1=$\frac{1}{27}$a³⇒a=-$\root{3}{9}$，方程恰有1个根，
$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1＞$\frac{1}{27}$a³⇒a＞-$\root{3}{9}$，方程无解，
综上，a＜-$\root{3}{9}$或a≥3时，方程恰有2个根，
a=-$\root{3}{9}$或0＜a＜3时，方程恰有1个根，
-$\root{3}{9}$＜a≤0时，方程无解．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．