Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且其图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称．
（1）求ω和φ的值；
（2）若$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）=\frac{3}{5}$，α为锐角，求$cos（α-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由图象上相邻两个最高点的距离为π，利用正弦函数的图象和性质即可得解?（x）的最小正周期，利用周期公式可求ω，根据对称轴可求φ，
（2）由（1）可得f（x）的解析式，根据两角差的余弦公式即可求出

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}=T=π$，
∴ω=2，
∵$2×\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}+kπ$，
∴$φ=\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
又0＜φ＜π，
∴$φ=\frac{π}{6}$．
（2）∵$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）=sinα=\frac{3}{5}$．
∵α为锐角，
∴$cosα=\frac{4}{5}$．
∴$cos（α-\frac{π}{3}）=cosαcos\frac{π}{3}+sinαsin\frac{π}{3}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．