Question

在四棱锥中，//，，，平面，.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

（1）见解析（2），（3）

试题分析：（1）建立如图所示坐标系，

写出坐标，可得坐标，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夹角可知异成直线与所成角；（3）为线段上一点，设其中可得，由直线与平面所成角的正弦值为，利用与平面的法向量夹角,可得.其中为直线与平面所成角.．即 .
试题解析：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，     １分
则，，，.
所以 ，，
，              ２分
所以，
.
所以 ，.
因为 ，平面，
平面，
所以 平面. ４分
（2） ， ５分

异成直线与所成角的余弦值 8分
（3）解：设（其中），，直线与平面所成角为.
所以 .所以 .
所以 即.      ９分
所以 .
平面的一个法向量为.      １０分
因为 ，
所以 .  １１分
解得 .所以 .        12分