Question

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）…（n∈N）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若c_n=f（a_n）lgf（a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，从而可得a_n=n+1，进而可证数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；
（2）求出数列{c_n}的通项，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，对m进行分类讨论，即可求得m的取值范围．

解答： （1）证明：由题意，f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，即man=mn+1．
∴a_n=n+1，
∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由题意c_n=f（a_n）•lgf（a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，
①当m＞1时，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）对一切n∈N^*恒成立；（11分）
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以

n+1

n+2

＞m对一切n∈N^*成立，
∵

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值为

2

3

，∴0＜m＜

2

3

，
综上，当0＜m＜

2

3

或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项考查恒成立问题，确定数列的通项，正确分类讨论是关键．