Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，27

3

 ）在y轴正半轴上，点P_n（3^n-1，0）在x轴上，记∠P_nAP_n+1=θ_n，y_n=tanθ_n，n∈N^*，则y_n 取最大值时，θ_n的值为

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．

解答： 解：由题意可得tan∠OAP_n=

3n-1

27 3

，tan∠OAP_n+1=

3n

27 3

，
∴y_n=tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n ）=

tan∠OAPn+1-tan∠OApn

1+tan∠OAPn+1•tan∠OAPn

=

3n 27 3 - 3n-1 27 3

1+ 3n 27 3 • 3n-1 27 3

=

27 3 (3n-3n-1)

(27 3 )2+3n•3n-1

=

27 3 (3-1)

(27 3 )2 3n-1 +3n

≤

54 3

2 (27 3 )2×3

=

3

3

，
当且仅当

(27 3 )2

3n-1

=3ⁿ，即n=4时，取等号．
即当n=4时，y_n=tanθ_n  取得最大值为

3

3

，故此时θ_n的值为

π

6

，
故答案为：

π

6

．

点评：本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键，属于中档题．