Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的一个端点构成边长为4的正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质，求得a与b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆当成，由向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），椭圆焦点在x轴上，则c=2，a=2c=4，
b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；（4分）
（2）设直线的方程为x=my+2，
代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+12my-36=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），焦点F₂（2，0），则根据$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，得（2-x₁，-y₁）=2（x₂-2，y₂），
由此得-y₁=2y₂，
解方程得：y_1，2=$\frac{-6m±12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，则y₁+y₂=-$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
代入-y₁=2y₂，y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₂²=$\frac{18}{3{m}^{2}+4}$，
得5m²=4，故m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线的方程为x±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$-2=0．（12分）

点评 本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．