Question

18．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x+1}$．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）对函数定义域内每一个实数x，f（x）+$\frac{t}{x}$≥$\frac{2}{x+1}$恒成立．
（1）求t的最小值；
（2）证明不等式lnn＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}（n∈{N^*}$且n≥2）

Answer 1

分析 （I）利用导数的运算法则与几何意义可得切线的斜率f′（1），再利用点斜式即可得出．
（II））（1）?x＞0，$f（x）+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立，即$\frac{lnx}{x+1}+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$，即$t≥\frac{2x-xlnx}{x+1}$．令$g（x）=\frac{2x-xlnx}{x+1}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（2）由（1）知t=1时，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立，即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，x=1取“=”．当n≥2时，令$x=\frac{n}{n-1}$，则$1-\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$，可得$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$．分别取值即可证明．

解答 解：（I）由题意x∈（0，+∞）且$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}（x+1）-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-xlnx}{{x{{（x+1）}^2}}}$，
∴$f'（1）=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2}$，
又$f（1）=\frac{0}{2}=0$，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y-0=\frac{1}{2}（x-1）$，即x-2y-1=0．
（II）（1）解：?x＞0，$f（x）+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立
即$\frac{lnx}{x+1}+\frac{t}{x}≥\frac{2}{x+1}$，
即$t≥\frac{2x-xlnx}{x+1}$…（5分）
令$g（x）=\frac{2x-xlnx}{x+1}$，$g'（x）=\frac{1-x-lnx}{{{{（x+1）}^2}}}$…（6分）
令g'（x）=0，则x=1
∴x∈（0，1）g'（x）＞0，g（x）为增函数．x∈（1，+∞）g'（x）＜0，g（x）为减函数…（8分）
∴g（x）_max=g（1）=1
∴t≥1，即t的最小值为1…（9分）
（2）证明：由①知t=1时，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}≥\frac{2}{x+1}$恒成立…（10分）
即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，x=1取“=”
当n≥2时，令$x=\frac{n}{n-1}$，则$1-\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$
∴$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$…（12分）$ln\frac{2}{1}＞\frac{1}{2}$$ln\frac{3}{2}＞\frac{1}{3}$…$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$
以上n-1个式子相加$ln2+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$
即$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$…（14分）

点评 本题考查了利用导数的运算法则几何意义、切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．