Question

8．已知直线l：x-y+9=0和椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求椭圆C的两焦点F₁，F₂的坐标；
（2）求以F₁，F₂为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）将椭圆的参数方程转化成普通方程，即可求得c的值，求得焦点F₁，F₂的坐标；
（2）由椭圆的定义2a=|MF₁|+|MF₂|，利用两点之间的距离公式即可求得a，则c=3，b²=a²-c²=36，即可求得椭圆方程．

解答 解：（1）由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（4分）
则a²=12，b²=3，c²=a²-b²=9．
∴c=3．故F₁（-3，0），F₂（3，0）…（6分）
（2）设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
由2a=|MF₁|+|MF₂|，
则只需在直线l：x-y+9=0上找到点M使得|MF₁|+|MF₂|最小即可．
点F₁（-3，0）关于直线l的对称点是F₁′（-9，6），
|MF₁|+|MF₂|=|MF₁′|+|MF₂|=|F₁′F₂|
=$\sqrt{（-9-3）^{2}+（6-0）^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
故a=3$\sqrt{5}$．
又c=3，b²=a²-c²=36．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．