Question

4．已知f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x+φ）+sinx，x∈R，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$）的图象过（${\frac{π}{2}$，4）点，则f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域为（　　）

• A． [-5，5]
• B． [3，5]
• C． [3，4]
• D． [2，5]

Answer 1

分析 根据题意$f（{\frac{π}{2}}）=4$，由此求出φ的值，化简f（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

解答 解：根据题意，$f（{\frac{π}{2}}）=4$，
则$3\sqrt{2}cos（{\frac{π}{2}+φ}）+sin\frac{π}{2}=4$，
解得$sinφ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$φ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，
所以φ=-$\frac{π}{4}$，
所以f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+sinx=3cosx+4sinx=5sin（x+θ），
其中$sinθ=\frac{3}{5}，cosθ=\frac{4}{5}$；
故$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{4}$，
由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$知，$0≤x+θ≤\frac{π}{2}+θ$，
故3=5sinθ≤5sin（x+θ）≤5，
即f（x）的值域为[3，5]．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查转化与计算能力的应用问题，是基础题目．