Question

14．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表

上网时间（分钟）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人数	5	25	30	25	15

表2：女生上网时间与频数分布表

上网时间（分钟）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人数	10	20	40	20	10

（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；
（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
表3

	上网时间少于60分钟	上网时间不少于60分钟	合计
男生
女生
合计

附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.076	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有$\frac{x}{600}=\frac{30}{100}$，求解即可得出结论；
（2）根据所给数据完成表3的2×2列联表，利用公式求出k²，与临界值比较，可得结论；
（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，得到10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，代入公式即可求出X的分布列和数学期望．

解答 解．（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有$\frac{x}{600}=\frac{30}{100}$，解得x=180，
∴估计其中上网时间不少于60分钟的有180人；
（2）根据题目所给数据得到如下列联表：

	上网时间少于60分钟	上网时间不少于60分钟	合计
男生	60	40	100
女生	70	30	100
合计	130	70	200

其中k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200×（60×30-40×70）^{2}}{100×100×130×70}=\frac{200}{91}≈2.198$＜2.706，
故不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；         
（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，
∴10人中上网时间少于60分钟的有6人，
X的所有可能取值为0，1，2，
则$P（X=0）=\frac{{{C}_{6}^{0}C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{15}$，$P（X=1）=\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{8}{15}$，
$P（X=2）=\frac{{{C}_{6}^{2}C}_{4}^{0}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{1}{3}$，
所求分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

数学期望为$EX=0×\frac{2}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{3}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．