Question

3．若函数f（x）=4sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，且当x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）等于（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由正弦函数的对称性可得sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$，代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．

解答 解：∵sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得其对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∵x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），
∴x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{2π}{3}$），且（x₁，0），（x₂，0）关于点（-$\frac{11π}{12}$，0）对称，
∴x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=4sin（-$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．