Question

8．有6本不同的书．
（1）分给3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？
（2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得1本，1人得两本，1人得三本，有多少种分法？
（3）平均分给甲、乙、丙3人，有多少种分法？
（4）分给3人，1人得4本，其余两人各得1本，有多少种分法？
（5）分给4人，每人至多得2本，至少得1本，有多少种分法？

Answer 1

分析 根据分组分配问题的原则，先合理的分组，再分配即可，注意平均分组的问题

解答 解：（1）无序不均匀分组问题．先选1本分给甲有C¹₆种选法；再从余下的5本中选2本分给乙有C²₅种选法；最后余下3本分给丙有C³₃种方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60种．
（2）有序不均匀分组问题．无序不均匀分组问题．先选1本有C¹₆种选法；再从余下的5本中选2本有C²₅种选法；最后余下3本全选有C³₃种方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60种由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有C¹₆C²₅C³₃A³₃=360种．
（3）无序均匀分组分配问题．把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，
先从6本书中取出2本给甲，有C₆²种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有C₄²种取法，
最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C₆²×C₄²×1=90种分法；
（4）有序不均匀分组分配，有$\frac{{C}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=15种分组方法，由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有15A³₃=90种，
（5）有序不均匀分组分配，有$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}•{A}_{2}^{2}}$=15种分组方法，由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有15A³₃=90种

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力