Question

13．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（π-x）cos（-x）+sin（π+x）cos（\frac{π}{2}-x）$图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． $9+\frac{π^2}{9}$
• B． $9-\frac{π^2}{9}$
• C． $4+\frac{π^2}{4}$
• D． $4-\frac{π^2}{4}$

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，结合图象可得A、B、C的坐标，可得向量的坐标，计算可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sinxsinx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1-cos2x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$可得x=$\frac{2π}{3}$，
可取一个最低点A（$\frac{2π}{3}$，-$\frac{3}{2}$），
同理可得B（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），C（$\frac{7π}{6}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{π}{2}$，2），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{π}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{{π}^{2}}{4}$+4，
故选：D．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题．