Question

已知函数f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2
（1）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[1，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，对于后者利用跟的判别式求解即可；
（2）将不等式f（x）＜g（x）转化为a＜x+1+

2

x

，利用基本不等式解决即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+x-2，
∴当a=0时，由f（x）=x-2=0得，函数f（x）有零点2，
当a≠0时，函数f（x）有零点等价于△=1-8a≥0，
即a≤

1

8

且a≠0，
综上可得，若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围是（-∞，

1

8

]；
（2）∵f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2，
∴不等式f（x）＜g（x）可化为，
ax²＜x³+x²+2x…①，
又∵x∈[1，3]，
∴①可化为a＜x+1+

2

x

，
根据基本不等式可知，
x+1+

2

x

≥2

2

+1，当且仅当x=

2

时等号成立，
∴实数a的取值范围是（-∞，2

2

）．

点评：本题考查零点存在性定理，基本不等式的灵活应用，属于中档题．