Question

17．已知椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圆：${x^2}+{y^2}={（\frac{b}{2}+c）^2}（{c^2}={a^2}-{b^2}）$有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{3}{5}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{2}}}{5}，\frac{3}{5}）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$

Answer 1

分析 由椭圆与圆有四个不同的交点，则满足b＜$\frac{b}{2}+c$＜a，由椭圆的简单几何性质，求得$\frac{1}{5}$a²＜c²＜$\frac{9}{25}$a²，根据椭圆的离心率即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：由椭圆和圆的几何性质可知，椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$
和圆：${x^2}+{y^2}={（\frac{b}{2}+c）^2}（{c^2}={a^2}-{b^2}）$有四个不同的公共点，
满足b＜$\frac{b}{2}+c$＜a，解得：$\frac{{b}^{2}}{4}＜$c²=a²-b²＜（a-$\frac{b}{2}$）²，
则有$\frac{4}{5}$a＜b＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{16}{25}$a²＜b²＜$\frac{4}{5}$a²，则$\frac{16}{25}$a²＜a²-c²＜$\frac{4}{5}$a²，
∴$\frac{1}{5}$a²＜c²＜$\frac{9}{25}$a²，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜e＜$\frac{3}{5}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．