Question

5．给出命题p：a（1-a）＞0；命题q：y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真命题时对应的等价条件，然后利用p∧q为假命题，p∨q为真命题，确定a的取值范围．

解答 解：命题p为真?a（1-a）＞0?0＜a＜1-------------------------------（2分）
命题q为真$?△={（2a-3）^2}-4＞0?a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}$，-----------------（4分）
命题“p∨q”为真，“p∧q”为假?p，q中一真一假，-----------------（6分）
当p真q假时，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{2}≤a＜1$，---------------------------（8分）
当p假q真时，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，得$a≤0或a＞\frac{5}{2}$，--------------------（10分）
所以a的取值范围是$（-∞，0]∪[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$-----------------------------------------（12分）

点评 本题考查了复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，属于基础题．