Question

已知函数f（x）=-lnx+

1

2

ax2+（1-a）x+2．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若0＜x＜1，求证：f（1+x）＜f（1-x）；
（Ⅲ）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为函数y=f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，若x₀=

x1+x2

2

，f′（x）为f（x）的导函数，求证：f′（x₀）＞k．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）构造函数g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，利用导数求其最大值为0，即得结论；
（Ⅲ）利用斜率公式及导数的几何意义及（Ⅱ）的结论即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

1

x

+ax+（1-a）=

(ax+1)(x-1)

x

，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（Ⅱ）f（1+x）-f（1-x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
令g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
∴g′（x）=

2x2

x2-1

，
∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
∴f（1+x）＜f（1-x）．
（Ⅲ）k=

y1-y2

x1-x2

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a（x₂-x₁）+1-a，
f′（x₀）=-

1

x0

+ax₀+1-a＞

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a（x₂-x₁）+1-a，?

2

x2+x1

＜

lnx2-lnx1

x2-x1

?ln

x2

x1

＞2

x2 x1 -1

x2 x1 +1

，
令x₂＞x₁＞0，

x2 x1 -1

x2 x1 +1

=t，（0＜t＜1），∴

x2

x1

=

1+t

1-t

，
ln

x2

x1

＞2

x2 x1 -1

x2 x1 +1

?ln

1+t

1-t

＞2t?ln（1+t）-ln（1-t）+2t＜0，
由（Ⅱ）可知上式成立．
∴f′（x₀）＞k成立．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，注意构造法的合理应用，逻辑性强，属于难题．