Question

6．已知函数f（x）=|x-1|-|x+2|．
（Ⅰ）求不等式-2＜f（x）＜0的解集A；
（Ⅱ）若m，n∈A，证明：|1-4mn|＞2|m-n|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）的解析式，求得不等式-2＜f（x）＜0的解集A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${m^2}＜\frac{1}{4}，{n^2}＜\frac{1}{4}$，故要证明|1-4mn|＞2|m-n|，只要证明左边的平方大于右边的平方即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$f（x）=|{x-1}|-|{x+2}|=\left\{\begin{array}{l}3，x≤-2\\-2x-1，-2＜x＜1\\-3，x≥1\end{array}\right.$，
由不等式-2＜f（x）＜0，可得-2＜-2x-1＜0，解得$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$，故$A=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${m^2}＜\frac{1}{4}，{n^2}＜\frac{1}{4}$；
因为|1-4mn|²-4|m-n|²=（1-8mn+16m²n²）-4（m²-2mn+n²）=（4m²-1）（4n²-1）＞0，
故|1-4mn|²＞4|m-n|²，故|1-4mn|＞2|m-n|．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，证明不等式的方法，属于中档题．