Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其右焦点关于直线y=x+1的对称点的纵坐标是2，椭圆C的右顶点为D．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B与椭圆的左、右顶点不重合），且满足DA⊥DB，求直线l在x轴上的截距．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．可得a=2c，求得右焦点关于直线y=x+1对称的点，可得c=1，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，得到根与系数的关系，利用$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，
可得k_AD•k_BD=-1，运用斜率公式，化简整理，可得m，k的关系，即可得到直线在x轴上的截距．

解答 解：（1）由题意椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．即有a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
又右焦点（c，0）关于直线y=x+1的对称点的纵坐标是2，
中点为（0，1），即有对称点的坐标为（-c，2），
即有$\frac{2}{-2c}$=-1，解得c=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
由△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²-m²＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+mk（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
∵DA⊥DB，可得$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，
∴k_AD•k_BD=-1，又椭圆的右顶点D（2，0），
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-1，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$-2（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+4=0，
化为7m²+16mk+4k²=0，
解得m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且满足3+4k²-m²＞0．
当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m=-$\frac{2k}{7}$时，l：y=k（x-$\frac{2}{7}$），直线过定点（$\frac{2}{7}$，0）．
综上可知，直线l在x轴上的截距为$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与直线的斜率上的关系、直线过定点问题，考查了推理能力和计算能力，属于中档题..