题目内容

7．设F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦点，P为椭圆上一点，M是PF的中点，且|PF|=4，则坐标原点O到点M的距离是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 根据椭圆的定义，得|PF|+|PF′|=2a，可得|PF′|=2a-|PF|=2，在△PFF′中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．

解答 解：设抛物线的右焦点F′，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=3，
∴|PF|+|PF′|=2a=6，
结合|PF|=4，得|PF′|=2a-|PF|=2，
∵OM是△PFF′的中位线，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=1．
故选：A．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

练习册系列答案
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17．平面直角坐标系xoy中，点P为椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的下顶点，M、N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线0N的倾斜角，若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，则椭圆C的离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}]$．
18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上顶点为B（0，1）．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，$\frac{1}{2}$），求弦MW的长；
（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
15．函数f（x）=xsinx的导函数f′（x）在区间[-π，π]上的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其右焦点关于直线y=x+1的对称点的纵坐标是2，椭圆C的右顶点为D．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B与椭圆的左、右顶点不重合），且满足DA⊥DB，求直线l在x轴上的截距．
12．如图，A、B分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，|AF|×|FB|=3．
（1）求b；
（2）已知直线l过点A且垂直于x轴，点Q是直线l异于A的动点，直线BQ交椭圆C于点P，证明：AP⊥FQ．
19．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0．设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得$\overrightarrow{O{P}^{2}}$=4$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
16．设命题p：?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$-1＞0，则￢p为（　　）
A．?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$-1≤0B．?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$-1＜0
C．?x∈R，x2-1≤0D．?x∈R，x2-1＜0
17．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（　　）
 
A．B．C．D．

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