题目内容

5．已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“完美数”，则在区间（1，2016）内的所有完美数的和为（　　）
A．1024B．2003C．2026D．2048

分析 a1a2a3…an=log23×log34×…×log（n+1）（n+2）=log2（n+2），当n+2=2m（m∈N+），即n=2m-2，m∈N+时，n称为完美数，在区间（1，2016）中找出所有的完美数之后用数列的求和公式进行计算．

解答 解：∵a1a2a3…an=log23×log34×…×log（n+1）（n+2）=log2（n+2），
当n+2=2m（m∈N+），即n=2m-2，m∈N+时，n称为完美数，
在区间（1，2016）内的完美数为22-2，23-2，24-2，…，2n-2，当2n-2≤2016时，n≤10．
∴在区间（1，2016）内所有的完美数的和S=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）
=（22+23+24+…210）-18
=$\frac{{2}^{2}×（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2026，
故选：C．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了数列和的求法，把a1•a2…an化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．

练习册系列答案
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（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线．
（参考公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=60975，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=12952．

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