Question

14．已知函数f（x），对任意实数m，n满足f（m+n）=f（m）f（n），且f（1）=a（a≠0），则f（n）=aⁿ（n∈N ₊）．

Answer 1

分析 根据题意，令m=1求出f（n+1）=f（1）f（n），再利用累乘法即可求出f（n）的值．

解答 解：∵f（m+n）=f（m）f（n），且f（1）=a（a≠0），
令m=1，则f（n+1）=f（1）f（n），
∴$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=a；
则有$\frac{f（n）}{f（n-1）}$•$\frac{f（n-1）}{f（n-2）}$…$\frac{f（3）}{f（2）}$•$\frac{f（2）}{f（1）}$=a•a…a•a=a^n-1，
$\frac{f（n）}{f（1）}$=a^n-1，
∴f（n）=a^n-1•f（1）=a ⁿ．
答案：a ⁿ

点评 本题考查了抽象函数的应用问题，解题时应利用赋值法，是基础题目．