Question

17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，函数g（x）的值域；
（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}，0$），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的性质可求其值域．
（3）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x），令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，结合θ＞0即可解得θ的最小值．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=$\frac{π}{6}$，
数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
f（x）	0	3	0	-3	0

函数表达式为f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）．
由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得：sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得：函数g（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，3]．
（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}，0$），
由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），得g（x）=3sin（2x+2θ+$\frac{π}{6}$）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称，令：$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$-θ=$\frac{π}{12}$，
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于中档题．