Question

6．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
（1）若c=$\sqrt{2}$a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理有sinC=$\sqrt{2}$sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=$\sqrt{2}$sinA，结合sinA≠0，可得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得解A的值．
（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=$\frac{sinC}{2sinA}=\frac{c}{2a}$，由余弦定理得$\frac{（n+1）^{2}+（n+2）^{2}-{n}^{2}}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+2}{2n}$，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵c=$\sqrt{2}$a，
∴由正弦定理有sinC=$\sqrt{2}$sinA．     …（2分）
又C=2A，即sin2A=$\sqrt{2}$sinA，
于是2sinAcosA=$\sqrt{2}$sinA，…（4分）
在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$．     …（6分）
（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．
由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，
∴cosA=$\frac{sinC}{2sinA}=\frac{c}{2a}$．   …（8分）
由余弦定理得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c}{2a}$，代入a，b，c可得：
$\frac{（n+1）^{2}+（n+2）^{2}-{n}^{2}}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+2}{2n}$，…（10分）
解得n=4，
∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，
即存在满足条件的△ABC，其周长为15．     …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．