Question

17．设函数 f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）．
（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[-4，4]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的单调性和极值，则f（x）的一个极值为0，从而求得a的值；
（2）讨论a的范围得出f（x）在[-4，4]上的单调性，从而得出f（x）的最大值．

解答 解：（1）$f'（x）=3{x^2}+2ax-{a^2}=3（{x-\frac{a}{3}}）（{x+a}），a＞0$，
令f'（x）＞0，得x＜-a或$x＞\frac{a}{3}$，令f'（x）＜0，得$-a＜x＜\frac{a}{3}$，
∴函数f（x）的增区间为$（{-∞，-a}），（{\frac{a}{3}，+∞}）$，减区间为$（{-a，\frac{a}{3}}）$，
∴当x=-a时，函数取极大值f（-a）=a³+5，当$x=\frac{a}{3}$时，函数取极小值$f（{\frac{a}{3}}）=-\frac{5}{27}{a^3}+5$，
又$f（{-2a}）=-2{a^3}+5＜f（{\frac{a}{3}}），f（{2a}）=10{a^3}+5＞f（{-a}）$，
∵函数f（x）有两个零点，∴f（-a）=0或$f（{\frac{a}{3}}）=0$，
∵a＞0，∴$f（{\frac{a}{3}}）=-\frac{5}{27}{a^3}+5$=0，解得a=3．
（2）∵a∈[3，6]，∴$-a∈[{-6，-3}]，\frac{a}{3}∈[{1，2}]$，
①当-a≤-4，即4≤a≤6时，函数f（x）在$[{-4，\frac{a}{3}}）$上单调递减，在$（{\frac{a}{3}，4}]$上单调递增．
∵f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，
∴$f{（x）_{max}}=f（{-4}）=4{a^2}+16a-59$，
②当-a＞-4时，即3≤a＜4时，函数f（x）在[-4，-a）上单调递增，在$（{-a，\frac{a}{3}}]$上单调递减，在$（{\frac{a}{3}，4}]$上单调递增．
∵f（-a）-f（4）=a³+4a²-16a-64=（a+4）²（a-4）＜0，
∴$f{（x）_{max}}=f（4）=-4{a^2}+16a+69$，
综上，$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}4{a^2}+16a-59，4≤a≤6\\-4{a^2}+16a+69，3≤a＜4\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数单调性与函数零点的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．