Question

3．函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（16，3）和（1，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求 g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意图象过点（16，3）和（1，-1）．将坐标带入函数f（x）=m+log_ax，求出m和a，即得到函数f（x）的解析式；
（2）根据函数f（x）的解析式求出g（x），利用复合函数的单调性求解最值．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（16，3）和（1，-1）．
则有：$\left\{\begin{array}{l}{3=m+lo{g}_{a}16}\\{-1=m+lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$，解得：m=-1，a=2，
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=-1+log₂x．
（2）由题意：g（x）=2f（x）-f（x-1），
那么：$g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+{log_2}x）-[-1+{log_{2（}}（x-1）]={log_2}\frac{x^2}{x-1}-1（x＞1）$，
令$u=\frac{{x}^{2}}{x-1}$（x＞1），则g（x）=log₂u在（0，+∞）上是单调递增；
∵$\frac{x^2}{x-1}=\frac{{{{（x-1）}^2}+2（x-1）+1}}{x-1}=（x-1）+\frac{1}{x-1}+2≥2\sqrt{（x-1）\frac{1}{x-1}}+2=4$
当且仅当$x-1=\frac{1}{x-1}，即x=2时，等号成立$．
而函数g（x）=log₂u（u＞0）在（0，+∞）上单调递增．
故当x=2时，函数g（x）取得最小值为1．

点评 本题考查了对数函数的计算机解析式的求法，复合函数的单调性求最值的问题．属于中档题．