Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cos（2x+$\frac{π}{3}$），sinx），函数f（x）=$\vec a$•$\vec b$-$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量的运算，建立关系，利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简．
（2）根据三角函数的性质x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，求出内层整体的范围，求f（x）的最值，即可得到值域．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=$\vec a$•$\vec b$-$\frac{1}{2}$cos2x．
则有：f（x）=1×cos（2x$+\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x．
化简：f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$cos2x．
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），最小正周期T=π
（2）由（1）可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，即$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$；
∴$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴$-1≤f（x）≤-\frac{1}{2}$
∴函数f（x）的值域是[-1，$-\frac{1}{2}$]

点评 本题考查了向量的基本运算，三角函数的化简能力和计算能力，以及三角函数的性质的运用，属于中档题．