Question

7．已知x、y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$，则$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范围是$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得目标函数最小值；数形结合得到使目标函数取得最大值的最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{{x^2}-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域，

化目标函数为y=$\frac{1}{2}x+z$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+z}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，得2x²-x-2z=0．
由△=1+16z=0，得z=$-\frac{1}{16}$．
由图可知，当直线y=$\frac{1}{2}x+z$过A（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{1}{2}$．
∴$z=-\frac{1}{2}x+y$的取值范围是：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$[-\frac{1}{16}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．