Question

3．已知在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=$\frac{S_2}{b_2}$．
（1）求a_n与b_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）由题意列方程，求得q和a₂，根据等比数列和等差数列通项公式即可求得a_n与b_n；
（2）由（1），求得S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂项法”即可求得$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$．

解答 解：（1）由已知条件可知：$\left\{\begin{array}{l}{q+3+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{3+{a}_{3}}{q}}\end{array}\right.$，
解得：q=3，q=-4（舍去），
a₂=6，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=1•3^n-1，
∴a_n=3n，b_n=3^n-1，
（2）S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{3（n+1）}$，
∴$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2n}{3（n+1）}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．