Question

16．已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，M为△F₁F₂P的内心，若S_△F1MP=S_△F2MP+4，则△F₁F₂M的面积为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 10

Answer 1

分析 P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1右支上一点，|PF₁|-|PF₂|=8，|F₁F₂|=10，由S_△F1MP=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S_△F2MP=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，则$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+4，即可求得△PF₁F₂的内切圆半径为r，由${S}_{{F}_{1}{F}_{2}M}$=$\frac{1}{2}$•2c•r即可求得△F₁F₂M的面积．

解答 解：由双曲线方程可得：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，焦点在x轴上，实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6，焦距2c=10，
设△PF₁F₂的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=8，|F₁F₂|=10，
S_△F1MP=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S_△F2MP=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，
由S_△F1MP=S_△F2MP+4，
∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+4，解得：r=1，
∴${S}_{{F}_{1}{F}_{2}M}$=$\frac{1}{2}$•2c•r=c•r=5，
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形内接圆的性质，利用待定系数法求出参数的值，考查计算能力，属于中档题．