Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间 （m，m+

1

3

）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；
（Ⅱ）先求导，再构造函数h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，求出h（x）的最大值小于0即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=

1+lnx

x

，
所以f′（x）=-

lnx

x2

（x＞0）．极值点为f′（x）=0解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
故m＜1＜m+

1

3

，解得

2

3

＜m＜1．
即实数m的取值范围为（

2

3

，1）．
（Ⅱ）由题意知，a≠0，且g（x）=

1+x

a(1-x)

lnx，因为x∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0，
当a＜0时，g（x）＞0，不合题意，
当a＞0时，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0恒成立，
设h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，则h_max（x）＜0，
∴h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

设t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=（2-4a）²-4=16a（a-1）．
（1）当0＜a≤1时，△≤0，此时：t（x）≥0，h'（x）≥0，所以h（x）在（0，1）内单调递增，又h（1）=0，
所以h（x）＜h（1）=0．所以0＜a≤1符合条件
（2）当a＞1时，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，所以存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，于是对任意x∈（x₀，1），t（x）＜0，h'（x）＜0．则h（x）在（x₀，1）内单调递减，又h（1）=0，所以当x∈（x₀，1）时，h（x）＞0，不合要求，
综合（1）（2）可得0＜a≤1

点评：本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．