Question

11．已知角α终边上一点P（-4，3）．
（Ⅰ）求$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$的值；
（Ⅱ）若β为第三象限角，且tanβ=1，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$，代入求解即可；
（Ⅱ）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：因为P（-4，3）为角α终边上一点，所以$sinα=\frac{3}{5}$，$cosα=-\frac{4}{5}$．…（2分）
（I）$\frac{{cos（α-\frac{π}{2}）sin（2π-α）cos（π-α）}}{{sin（\frac{π}{2}+α）}}$
=$\frac{sinα•（-sinα）•（-cosα）}{cosα}$
=sin²α…（5分）
=$\frac{9}{25}$；…（6分）
（II）$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}$，$cos2α=2{cos^2}α-1=\frac{7}{25}$，…（8分）
又因β为第三象限角，且tanβ=1，所以$sinβ=cosβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（9分）
则cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ…（10分）
=$\frac{7}{25}$×$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$$+（-\frac{24}{25}）×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$=$\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力．