Question

10．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3），
（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；
（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a²+b²-4a-14b+45=0，求出t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由点P（m，m+1）在圆C上，解得m=4，从而点P（4，5），由此能求出PQ的斜率．
（2）点M是圆C上任意一点，Q（-2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|-r．
（3）点N在圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上，t=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定点Q（-2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．由此能求出t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8．
点P（m，m+1）在圆C上，所以m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0，解得m=4，
故点P（4，5）．所以PQ的斜率是k_PQ=$\frac{5-3}{4+2}$=$\frac{1}{3}$；
（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（-2，3）在圆外，
所以|MQ|的最大值、最小值分别是
|QC|+r，|QC|-r．Q（-2，3），C（2，7），
|QC|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（7-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$，
所以|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（3）点N在圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上，
t=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定点Q（-2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．
设l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
当直线和圆相切时，d=r，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{k2+1}}$=2$\sqrt{2}$，解得k=2±$\sqrt{3}$．
所以t=$\frac{b-3}{a+2}$的最大值为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，考查线段的最值的求法，考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．