Question

6．在等差数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，若$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$为公差是1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及定义，解得d=2，进而得到通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$．运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由a₁=1，a_n=1+（n-1）d=nd+1-d，
若$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$为公差是1的等差数列，
则$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$nd+1-$\frac{1}{2}$d，
当n≥2时，$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}$d=1，解得d=2，
则a_n=2n-1，n∈N*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$=$\frac{1}{4}（{\frac{4}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{n+1}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．