Question

12．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，收到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：

参加纪念活动的环节数	0	1	2	3
概率	$\frac{1}{6}$	m	n	$\frac{1}{3}$

（1）若m=2n，则从这60名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为1的抗战老兵中抽取的人数；
（2）某医疗部门决定从（1）中抽取的6名抗战老兵中随机抽取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，再由m=2n，能求出这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为0，1，2，3的抗战老兵的人数分别为10，20，10，20，由此利用分层抽样法能求出参加纪念活动的环节数为1的抗战老兵中应抽取的人数．
（2）抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为A，2名参加了1个环节，记为B，C，1名参加了2个环节，分别记为D，2名参加了3个环节，分别记为E，F，从这6名抗战老兵中随机抽取2人，利用列举法能求出这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率．

解答 解：（1）由题意可知：$m+n+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1$，
又m=2n，解得$m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{6}$
故这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为0，1，2，3的抗战老兵的人数分别为10，20，10，20，
其中参加纪念活动的环节数为1的抗战老兵中应抽取的人数为$20×\frac{6}{60}=2$．
（2）由（1）可知抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为A，
2名参加了1个环节，记为B，C，1名参加了2个环节，分别记为D，
2名参加了3个环节，分别记为E，F，
从这6名抗战老兵中随机抽取2人，有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），
共15个基本事件，
记“这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3”位事件M，
则事件M包含的基本事件为：
（A，E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），
（D，E），（D，F），（E，F），共9个基本事件．
所以这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率$P（M）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题分层抽样的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．