Question

若椭圆E₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1和椭圆E₂：

x2

a22

+

y2

b22

满足

a2

a1

=

b2

b1

=m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称其为相似比．
（Ⅰ）求经过点（

2

2

，

3

2

），且与椭圆C₁：x²+2y²=1相似的椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的椭圆C₁，C₂交于A、B两点，求|OA|•|OB|的取值范围；
（Ⅲ）设直线l₁：y=kx与（Ⅰ）中椭圆C₂交于M、N两点（其中M在第一象限），且直线l₁与直线l₂：x=2交于点D，过D作DG∥MF（F为椭圆C₂的右焦点）且交x轴于点G，证明直线MG与椭圆C₂只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设与椭圆C₁：x²+2y²=1相似的椭圆的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，结合题目条件可求得a²=2，b²=1；
（Ⅱ）对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=

2

2

，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=

2

2

（1+

1

1+2k2

），从而可求得|OA|•|OB|的取值范围；
（Ⅲ）直线l₁：y=kx代入

x2

2

+y2=1得x²+2k²x²=2，利用DG∥MF，求出G的坐标，可得直线MG的方程，代入椭圆C₂，利用判别式可得结论．

解答： （Ⅰ）解：设与椭圆C₁：x²+2y²=1相似的椭圆的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1．
则有

1 2 a2 + 3 4 b2 =1 a 1 = b 2 2

解得a²=2，b²=1．
∴所求方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）解：当射线l的斜率不存在时，A（0，±

2

2

），B（0，±1），∴|OA||OB|=

2

2

当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，
则y=kx代入

x2

2

+y2=1，可得x²=

1

1+2k2

，y²=

k2

1+2k2

，
∴|OA|=

1+k2 1+2k2

，|OB|=

2+2k2 1+2k2

，
∴|OA||OB|=

1+k2 1+2k2

•

2+2k2 1+2k2

=

2

2

（1+

1

1+2k2

），
∴

2

2

＜|OA||OB|≤

2

，
综上，

2

2

≤|OA||OB|≤

2

；
（Ⅲ）证明：直线l₁：y=kx代入

x2

2

+y2=1得x²+2k²x²=2，∴x²=

2

1+2k2

，
∴M（

2

1+2k2

，

2 k

1+2k2

），
∵F（1，0），
∴k_MF=

2 k

2 - 1+2k2

，
设G（x₁，0），∵D（2，2k），∴k_GD=

2k

2-x1

，
∵GD∥MF，
∴

2k

2-x1

=

2 k

2 - 1+2k2

，
∴x₁=

4k2+2

，
∴G（

4k2+2

，0）
∴k_MG=-

1

2k

，
∴直线MG：y=-

1

2k

（x-

4k2+2

），
代入椭圆得（2k²+1）x²-2

4k2+2

x+2=0，
∴△=（2

4k2+2

）²-8（2k²+1）=0，
∴直线MG与椭圆C₂只有一个公共点．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题．