Question

5．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+1）是奇函数，且当x≥1时，$\frac{1}{f′（x）}$＞1（其中f′（x）为f（x）的导函数），则不等式f（x）＞x-1的解集是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 确定f（1）=0，令g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1＜0，函数在R上单调递减，即可求出不等式f（x）＞x-1的解集．

解答 解：∵f（x+1）是奇函数，
∴f（x）关于（1，0）对称，f（1）=0，
∵当x≥1时，$\frac{1}{f′（x）}$＞1，
∴0＜f′（x）＜1．
令g（x）=f（x）-x，
则g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴（1，+∞）上单调递减，
结合对称性可得：函数在R上单调递减，
∵g（1）=f（1）-1=-1，
∴不等式f（x）＞x-1可化为g（x）＞g（1），
∴x＜1，
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．