Question

已知复数z₁=1+3i
求（1）z₁

.

z1

+z₁+

.

z1

的值；
（2）若|

z2

1+2i

|=

2

，z₁z₂为纯虚数，求复数z₂．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出；
（2）利用纯虚数的定义、复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵复数z₁=1+3i，∴

.

z1

=1-3i，
∴z₁

.

z1

+z₁+

.

z1

=（1+3i）（1-3i）+1+3i+（1-3i）=10+2=12．
（2）设z₂=x+yi，∵z₁z₂=（1+3i）（x+yi）=x-3y+（3x+y）i为纯虚数，∴x-3y=0，3x+y≠0．
∵|

z2

1+2i

|=|

x+yi

1+2i

|=|

(x+yi)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

|=|

x+2y+(y-2x)i

5

|=

( x+2y 5 )2+( y-2x 5 )2

=

2

，
化为x²+y²=10．
联立

x-3y=0 x2+y2=10 3x+y≠0

，解得

x=3 y=1

或

x=-3 y=-1

．
∴z₂=±（3+i）．

点评：本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题．