题目内容

已知函数f（x）=2sin
x
2
cos
x
2
-2
3
sin2
x
2
+
3

（1）求函数f（x）的单调减区间
（2）已知α∈（
π
6
，
2π
3
），且f（α）=
6
5
，求f（α-
π
6
）的值．
考点：两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的求值
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+
π
3
），解不等式2kπ+
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
可得单调减区间；
（2）由题意易得sin（α+
π
3
）=
3
5
，∴cos（α+
π
3
）=-
4
5
，而f（α-
π
6
）=2sin（α+
π
3
）cos
π
6
-2cos（α+
π
3
）sin
π
6
，代值计算可得．
解答： 解：（1）化简可得f（x）=2sin
x
2
cos
x
2
-2
3
sin2
x
2
+
3

=sinx+
3
cosx=2sin（x+
π
3
），
由2kπ+
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
可得2kπ+
π
6
≤x≤2kπ+
7π
6
，
∴函数f（x）的单调减区间为：[2kπ+
π
6
，2kπ+
7π
6
]（k∈Z）
（2）∵α∈（
π
6
，
2π
3
），且f（α）=2sin（α+
π
3
）=
6
5
，
∴sin（α+
π
3
）=
3
5
，∴cos（α+
π
3
）=-
4
5

∴f（α-
π
6
）=2sin（α-
π
6
+
π
3
）=2sin（α+
π
3
-
π
6
）
=2sin（α+
π
3
）cos
π
6
-2cos（α+
π
3
）sin
π
6

=2×
3
5
×
3
2
-2×(-
4
5
)×
1
2
=
4+3
3
5
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和同角三角函数的基本关系，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=sin（2x+
π
3
）-sin（2x-
π
4
）的递增区间．
设数列{an}满足a1=0且an+1=
1
2-an
．n∈N*．
（1）求证数列{
1
1-an
}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1-
an+1
n
，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn＜1．
观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量C之间关系最强的是（　　）
A、
B、
C、
D、
从3月1日起300天内，草莓的市场售价与时间的函数关系式f（t）=
-t+300，0≤t≤200
2t-300，200＜t≤300
，种植成本与时间的函数关系是g（t）=
1
200
（t-150）2+100，（0≤t≤300）．若认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的草莓纯收益最大？
在一杯10L的清水中，有一条小鱼，现任意取出1L清水，则小鱼被取到的概率为
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A、
x2
36
-
y2
108
=1
B、
x2
9
-
y2
27
=1
C、
x2
108
-
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
9
=1
在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈[0，
1
2
]的概率为（　　）
A、
1
π
B、
2
π
C、
1
3
D、
2
3
已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=-log 
3
an，求数列{
1
bnbn+1
}的前n项和Tn．

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