Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=-log 

3

a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=-log 

3

a_n=-log 

3

1

3n

=2n，得

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
得

(a1q2)2=9a1q•a1q5 2a1+3a1q=1 q＞0

，
解得a1=

1

3

，q=

1

3

，
∴an=

1

3n

．
（2）∵an=

1

3n

，∴b_n=-log 

3

a_n=-log 

3

1

3n

=2n，
∴

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．