Question

过点（-2，0）的直线l与抛物线y=

x2

2

相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（　　）

• A、-

  1

  6

• B、-

  1

  4

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对抛物线y=

x2

2

，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=

x2

2

得：x²-2kx-4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．

解答： 解：对抛物线y=

x2

2

，y′=x，
l的方程是y=k（x+2），代入y=

x2

2

得：x²-2kx-4k=0，
设两个交点是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

△=4k2+16k＞0 x1x2=-4k

，
而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x₁x₂=-1．
∴k=

1

4

且满足△＞0．
故选：C．

点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．