Question

11．已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，以双曲线C的一个焦点为圆心，2为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$

Answer 1

分析 设双曲线的焦点为（0，c），渐近线方程为ax-by=0，由直线和圆相切的条件，求得b=2，再求a，即可得到双曲线C的方程．

解答 解：设双曲线的焦点为（0，c），渐近线方程为ax-by=0，
由于圆与双曲线的渐近线相切，
则$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，
化简得，b=2，
因为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，所以a=2，
所以双曲线的方程为：$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．